Bonsoir, pouvez-vous m'aider je suis bloqué, voici la consigne :
Montrer que la fonction f(x) = x³sin(1/x) est dérivable une seule fois et non deux fois c'est à dire [f(x)-f(0)]/x-0 = f'(0) est possible et non [f'(x)-f'(0)]/x-0 = f''(0) . Avec la limite x tend vers 0.

Merci à vous.

Bonjour,

[tex]\frac{f( x) -f( 0)}{0} =x^{2} sin\left(\frac{1}{x}\right) \leqslant x^{2}\underset{x\rightarrow 0}{\rightarrow } 0[/tex]

La fonction est donc dérivable pour tout réel en posant f'(0)=0 (En tant que composée et produit de fonctions dérivables)

Et [tex]f'(x)=x\left( 3xsin\left(\frac{1}{x}\right) -cos\left(\frac{1}{x}\right)\right)[/tex]

Ensuite [tex]\frac{f'( x) -f'( 0)}{x} =3xsin\left(\frac{1}{x}\right)\underbrace{-cos\left(\frac{1}{x}\right)}_{ne\ converge\ pas\ en\ 0}[/tex].

Donc f n'est pas dérivable deux fois en 0.